ПОДРОБНЕЕ: https://sites.google.com/view/irvirraf/%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0-%D0%BA-%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D0%B0%D0%B4%D0%B5/3-%D1%87%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%8C/9-%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8F
На материке есть несколько стран, в каждой из которых правит либо партия правых, либо партия левых. Раз в месяц в одной из стран может поменяться власть. Это может произойти только в случае если в большинстве стран, граничащих с этой страной, правит другая партия. Докажите, что смены партий не могут продолжаться бесконечно.
Шоколадка имеет размер 4×10 плиток. За один ход разрешается разломать один из уже имеющихся кусочков на два вдоль прямолинейного разлома. За какое наименьшее число ходов можно разбить всю шоколадку на кусочки размером в одну плитку?
В стране дальтоников все города подняли над ратушами флаги — черно-синие либо бело-золотые. Каждый день жители узнают цвета флагов у соседей в радиусе 100 км. Один из городов, где у большинства соседей флаги другого цвета, меняет свой флаг на этот другой цвет. Докажите, что со временем смены цвета флагов прекратятся.
На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. К ним по одному подошли ещё 20 детей, и каждый из них садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовем девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика - отважным, если он садился между двумя соседними девочками. Когда все сели, оказалось, что мальчики и девочки сидят на скамейке, чередуясь. Сколько из них были отважными?
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, а остальные - направо. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, обращенных к нему лицом?
На плоскости даны 10 точек: несколько из них — белые, а остальные — чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовем точку особой, если более половины соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.
Самая распространенная формулировка принципа Дирихле, как ни странно, связана с кроликами:
если в n клетках сидит n+1 кролик, то по крайней мере в одной клетке сидит не менее двух кроликов.
Если в первую клетку посадить учеников, которые не сделали ни одной ошибки, во вторую - сделавших две ошибки и т.д., а в тринадцатую посадить Вову, то решить задачу можно опять методом от противного:
Пусть среди класса нет учеников, сделавших одинаковое количество ошибок. Тогда в каждой клетке максимум 2 ученика. Т.к. клеток всего 14 (в последней сидит один Вова), то суммарное количество учеников не может превышать 13*2+1=27 человек. Мы пришли к противоречию, т.к. диктант писало 30 ребят.
