1. Можно ли разрезать квадрат 10 х 10 на прямоугольники 1 х  4? 

2. Отметьте на доске  8 х 8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.  

3.  Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом «верблюда» с произвольного поля на соседнее? 

4. В каждой клетке доски в 5 х 5 клеток сидел жук. Затем каждый жук переполз на соседнюю (по стороне) клетку. Докажите, что осталась хотя бы одна пустая клетка. 

5. Дана доска в 19 х 19 клеток. На каждой клетке поставлено по шашке. Можно ли переставить шашки так, чтобы каждая шашка оказалась на соседней клетке (по горизонтали или по вертикали, но не диагонали)? 

6. Докажите, что плоскость можно раскрасить девятью красками так, что никакие две точки одного цвета не будут находиться на расстоянии 1 м друг от друга. 

1. Ваня хочет разрезать фигуру на рисунке на восемь доминошек и один квадрат 1*1. Сколькими способами он может это сделать? 

2. Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось 3 четырёхугольника?

3. Разрежьте квадрат размером 4×4 на 4 равные фигуры. Резать можно только по стороне квадрата 1×1.
4. Как разрезать прямоугольник, длина которого 16см, а ширина 9см, на две равные части, из которых можно составить квадрат?

ТУРНИРЫ

1.  а) В однокруговом шахматном турнире с восемью участниками все партии закончились вничью. Сколько всего очков набрали участники? А сколько всего партий было сыграно? б) В незаконченном шахматном турнире сыграно пока только 15 партий. Сколько всего очков успели набрать участники? в) Закончился однокруговой шахматный турнир с 16 участниками. Чему равна сумма набранных очков? 
2. В однокруговом турнире четырёх команд с начислением очков по системе 2–1–0 команда А набрала 5 очков, Б — 2 очка, В — 1 очко. Какое место заняла команда Г? 
3. В однокруговом турнире участвовали шахматисты А, Б, В, Г и Д. При равенстве очков место определялось по дополнительным показателям. Известно, что Б занял второе место и набрал больше очков, чем В, Г и Д вместе. Каков результат партии между А и Б?
4. В однокруговом футбольном турнире команд А, Б, В, Г команда А заняла первое место, а команда Б набрала 3 очка и заняла «чистое» второе место (то есть команда выше неё набрала больше очков, а каждая команда ниже неё — меньше очков). Восстановите результаты всех матчей.
5. В футбольном турнире пяти команд победитель набрал столько очков, сколько все остальные вместе взятые. Сколько ничьих было в этом турнире?
6. В однокруговом шахматном турнире участвовали 8 человек и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?