2025 ГОД С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

1. Квадратное число:  45²=2025;  (20+25)²=2025; 9²×5²=2025;  3²×15²=2025. 

Разложение на простые множители выглядит так: 2025=5²×3⁴.
Сумма цифр числа 2025 равна 9, что также является квадратом (3²).
2. Кубическое число: 2025 можно представить как сумму кубов всех цифр от 0 до 9: 0³+1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³=2025.

3. У числа 2025 есть 15 делителей, и оно делится на 15.

Задача про кондитерскую Снеговика

Снеговик, работающий в лесной кондитерской, устал пересчитывать мелочь покупателей. Поэтому он решил больше не принимать монеты номиналом 1, 2 и 5 копеек.

Переделать ценники Снеговик не успел. Вместо этого он решил округлять сумму каждой покупки до десятка копеек. Например, если товар стоит 5 рублей и 23 копейки, он возьмёт за него 5 рублей и 20 копеек.

Медведь, Заяц, Белка и Ёж проходили мимо кондитерской Снеговика. Медведь решил угостить друзей свежей выпечкой. Долго уговаривать их не пришлось.

Из меню Медведь выбрал пирог с клюквой за 15 рублей 88 копеек, Заяц захотел мешок медовых пряников за 3 рубля 16 копеек, Белка — мешок орешков со сгущёнкой за 3 рубля 35 копеек, а Ёж предпочёл вафельный торт за 12 рублей 49 копеек.

Когда компания собиралась сделать заказ, Снеговик сообщил им, что не примет к оплате монеты меньше 10 копеек.

Медведь быстро сложил цены выпечки: вся покупка обойдётся в 34 рубля 88 копеек. Придётся округлить эту сумму до 34 рублей 90 копеек и переплатить две копейки.

Медведь решил, что можно разбить заказ и сберечь свои деньги. На сколько покупок нужно его разделить, чтобы сэкономить как можно больше?

Задача про семейный ужин

Каждый Новый год семья Морозовых устраивает праздничный ужин. За столом собираются папа, мама, их сын Петя, дядя Коля, тётя Тома и дедушка. Мама отвечает за организацию праздника. По традиции большой прямоугольный стол накрывают в гостиной с двухместным диваном, одним креслом и тремя стульями. Вот вид комнаты сверху:

Самое сложное в подготовке — придумать план рассадки, ведь у каждого члена семьи есть свои пожелания. Мама заранее выслушала их и составила список:

• Дедушка давно не видел тётю Тому, поэтому хочет сесть напротив неё.
• Петя хотел бы сесть рядом с дедушкой.
• Дядя Коля не хочет сидеть во главе стола.
• У тёти Томы болит спина поэтому она хочет сесть на диван.

Папа всегда сидит во главе стола с левой стороны на кресле, а мама — по левую руку от него на диване.

Получится ли у мамы учесть пожелания всех членов семьи? И где тогда будет сидеть каждый из них?

Важно: считается, что родственники сидят рядом даже в том случае, если их разделяет угол стола.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ И СТРАТЕГИИ

1. На листе бумаги нарисован круглый циферблат часов с точками, обозначающими минуты. Двое поочерёдно проводят отрезки прямых, соединяющих две произвольные точки. Не разрешается проводить отрезок, пересекающий другие отрезки, но они могут иметь разные концы. Проигрывает тот, кто не сумеет провести отрезок. Кто выиграет при правильной игре?
2. Двое по очереди разламывают шоколадку 5 х 10. За ход можно сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Выигрывает тот, кто первым отломит дольку 1x1. Кто выиграет при правильной игре с обеих сторон?
3. Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть её на любое количество клеток вправо или на любое количество клеток вверх. Выиграет тот, кто поставит её на поле h8.
4. На столе лежат 40 камешков. Двое играющих берут поочерёдно со стола камешки, причём за один раз не более 10 камешков. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Как должен поступить начинающий игру, чтобы наверняка выиграть?
5. Играют двое. Начинающий называет одно из чисел:1,2,3,4. Второй игрок прибавляет к этому числу одно из этих же чисел: 1,2,3,4 и называет вслух получившуюся сумму. То же самое делает затем первый игрок и т.д. Побеждает тот, кто первым назовёт число 40.
6. В одной куче 18 конфет, а в другой – 23. Двое по очереди съедают одну из куч, а другую делят на две кучи. Кто не может поделить (если в куче одна конфета), проигрывает. Есть ли у начинающего выигрышная стратегия?
   ПОДРОБНЕЕ:https://sites.google.com/view/irvirraf?usp=sharing

ЗАДАЧИ С ЧИСЛАМИ

1. Ученик купил 4 книги для подготовки к олимпиаде по математике. Все книги, кроме одной, стоят в сумме 348000 рублей, без второй – 296000 рублей, без третьей – 292000 рублей, без четвёртой – 288000 рублей. Сколько стоит каждая книга?
2.   Одна бутылка лимонада стоит 6000 рублей. Пустую бутылку можно сдать за 2500 рублей. Какое наибольшее число бутылок лимонада можно выпить, имея 30000 рублей?
3. За один ход разрешается число, записанное на доске, заменить на удвоенное либо стереть у него последнюю цифру. На доске записано число 456. Можно ли из него получить14?
4. Если перемножить числа от одного до сорока, какое количество нулей будет стоять в конце этого произведения?
5. Найдите число, если: 1) Это число состоит из 6 разных цифр. 2) Чётные и нечётные цифры чередуются (ноль также может чередоваться и будет считаться четным числом). 3)Каждые две соседние цифры отличаются больше, чем на 1. 4)Число, состоящие из первых двух цифр, как и число, состоящие из средних двух цифр, делятся без остатка на число, составленное двумя последними цифрами.     
6.  Переставьте только одну цифру, так чтобы получилось равенство: 101 – 102 = 1                                                                      
   
   ПОДРОБНЕЕ: https://sites.google.com/view/irvirraf?usp=sharing

Вопросы для подготовки к зачёту по теме «Тригонометрия» 

1. Какая окружность называется единичной?
2. Что называется углом в 1 радиан?
3. Как выразить градусную меру угла в радианной?
4. Как выразить радианную меру угла в градусной?
5. Что называется синусом произвольного угла?
6. Что называется косинусом произвольного угла?
7. Что называется тангенсом произвольного угла?
8. Что называется котангенсом произвольного угла?
9. Алгоритм нахождения синуса и косинуса произвольного угла. 
10. Алгоритм нахождения тангенса произвольного угла. 
11. Алгоритм нахождения котангенса произвольного угла. 
12. Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса по четвертям.
13. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и   того же угла (тригонометрические тождества). 
14. Какая функция называется периодической?
15. Свойства и график функции y = sin x. 
16. Свойства и график функции y = cos x. 
17. Свойства и график функции y = tg x.
18. Свойства и график функции y = ctg x.
19. Что называется арксинусом числа? Чему равен arcsin (−a)?
20. Что называется арккосинусом числа? Чему равен arccos (−a)?
21. Что называется арктангенсом числа? Чему равен arctg (−a)?
22. Что называется арккотангенсом числа? Чему равен arcctg (−a)?
23. Простейшие тригонометрические уравнения вида sin x = a. 
24. Простейшие тригонометрические уравнения вида cos x = a. 
25. Простейшие тригонометрические уравнения вида tg x = a и ctg x = a. 
26. Правило, с помощью которого можно применять формулы приведения.
27. Формулы синуса, косинуса, тангенса суммы и разности.
28. Формулы двойного аргумента.
29. Формулы преобразования суммы, разности синусов (косинусов) в  про-изведение.

Вопросы для подготовки к зачёту по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

1. Взаимное расположение прямых в пространстве.
2. Сформулируйте утверждение о прямых, проходящих через данную точку параллельно данной прямой.
3. Какие две прямые пространства называются параллельными; пересекающимися; скрещивающимися?
4. Сформулируйте утверждение о параллельных прямых, из которых одна пересекает данную плоскость.
5. Сформулируйте утверждение о прямых, параллельных некоторой прямой.
6. Сформулируйте свойство противоположных граней прямоугольного параллелепипеда; диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
7. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
8. Какой угол называют углом между пересекающимися прямыми; скрещивающимися прямыми; параллельными прямыми?
9. Как построить угол между скрещивающимися прямыми?
10. Какие прямые называют перпендикулярными?
11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
12. Какие прямая и плоскость называются параллельными; пересекающимися?
13. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
14.  Сформулируйте свойство прямой, параллельной плоскости.
15. Назовите возможные случаи взаимного расположения двух плоскостей.
16.  Какие плоскости называются параллельными?
17.  Сформулируйте признак параллельности плоскостей.
18.  Сформулируйте утверждение о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.
19.  Сформулируйте утверждение об отрезках, которые две параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых.
20.  Сформулируйте утверждение об отрезках, которые три параллельные плоскости отсекают на произвольных прямых.
21.  Сформулируйте утверждение о плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости.
22. Сформулируйте утверждение о плоскостях, которые параллельны другой плоскости.
23.  Сформулируйте утверждение о параллельных плоскостях, определяемых парой скрещивающихся прямых.