1. Если из второй вазы переложить в первую 5 конфет, то конфет в вазах будет поровну. Если из первой вазы переложить во вторую 20 конфет, то в первой вазе будет в 6 раз меньше, чем во второй. Сколько конфет в каждой вазе?
2. Если с первой пирамидки снять 3 колечка и надеть их на вторую, то на второй пирамидке окажется в 2 раза больше колец, чем на первой. А если со второй снять два колечка и надеть их на первую, то на обеих пирамидках колец будет поровну. Сколько колец на каждой пирамидке?
3. В трёх кучках находятся 11, 7 и 6 спичек. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно за три операции сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. К любой кучке разрешается добавлять столько спичек, сколько в ней есть.
4. 16 спичек распределили на две неравные кучки. Когда из первой кучки переложили во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось, а затем из второй переложили в первую столько спичек, сколько в первой осталось, то в обеих кучках спичек стало поровну, сколько спичек в каждой кучке было первоначально?
5. 48 спичек разложены на три неравные кучки. Если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось, затем из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься, то спичек во всех кучках станет одинаковое количество. Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?
6. На трёх проводах сидело 24 воробья. Когда с первого провода перелетели на второй 4 воробья, а со второго перелетели на третий 3 воробья, то на всех проводах воробьёв оказалось поровну. Сколько воробьёв сидело на каждом проводе первоначально?

Старт отборочного этапа 20 октября 2024

1. Какие геометрические фигуры называются плоскими; пространственными? 
2. Какое тело называют многогранником?  Что называют гранями многогранника; рёбрами многогранника; вершинами многогранника? 
3. Какой многогранник называется призмой? Что называют основаниями призмы; боковыми гранями призмы; боковыми рёбрами призмы?
4.  Какая призма называется прямой призмой; наклонной призмой? 
5. Какая призма называется правильной призмой? 
6. Какая призма называется параллелепипедом; прямым параллелепипедом? 
7. Какой прямой параллелепипед называется прямоугольным параллелепипедом?  Какие рёбра прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями? 
8. Какой многогранник называется пирамидой? Что называют основанием пирамиды; боковыми гранями пирамиды; вершиной пирамиды? 
9. Какая пирамида называется правильной пирамидой? Какой отрезок называется апофемой правильной пирамиды? Сформулируйте свойство боковых рёбер правильной пирамиды; боковых граней правильной пирамиды; апофем правильной пирамиды. 
10. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды? 
11. Какое тело называется цилиндром? 
12. Какое тело называется конусом? 
13. Какое тело называется шаром? 
14. Какие две прямые плоскости называются пересекающимися; параллельными? Какие прямые называются скрещивающимися
15. Как могут располагаться две прямые в пространстве? 
16. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися; параллельными? 
17. Как могут располагаться в пространстве прямая и плоскость? 
18. Какие две плоскости называются пересекающимися; параллельными? 
19. Как могут располагаться в пространстве две плоскости? 
20. Сформулируйте свойство плоскости, проходящей через три точки, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство. 
21. Сформулируйте свойство прямой, две точки которой принадлежат плоскости, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство. 
22. Сформулируйте свойство линии пересечения двух плоскостей и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство. 
23. Назовите способы задания плоскости.
24. Какая фигура называется сечением многогранника? Какой фигурой может быть это сечение? Какая прямая называется следом одной плоскости на другой? 

1. Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?
2. Имеются 9 пластин и двух чашечные весы. Одна из пластин легче других, но по виду   они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более лёгкую пластину?
3. Имеется 10 мешков конфет. В девяти мешках монеты настоящие (по 10г), а в одном – фальшивые (по 11г). Как одним взвешиванием на обычных весах определить, в каком мешке фальшивые монеты?
4. Имеются 4 пакета и чашечные весы без гирь. За пять взвешиваний расположите пакеты по весу.
5. Из 81 монеты одна фальшивая: она тяжелее остальных. Найдите ее за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь.
6. Имеются чашечные весы, любые гири и 10 мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном мешке все монеты фальшивые и каждая весит по 15г, а в остальных девяти мешках все монеты - настоящие и каждая весит по 20г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты? 

1. Имеются 2 сосуда ёмкостью 3л и 5л. Как с помощью таких сосудов налить из водопроводного крана 4л воды?
2. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона. На землю ничего выплескивать нельзя.
3. Имеются три бочонка ёмкостью 6,3 и 7 вёдер. в первом и третьем находятся соответственно 4 и 7 вёдер кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну на две части.
4. Бидон ёмкостью 10 литров наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 литров в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 литра. Как это сделать?
5. Бабушка сварила 16 литров яблочного сосуда и налила его в один сосуд. Теперь необходимо разлить сок поровну в ёмкости, используя для переливания банки 11 и 6 литров.
6. Имея два полных десятилитровых бидона молока и пустые четырехлитровую и пятилитровую кастрюли, отмерьте по 2 л молока в каждую кастрюлю.